证明方程X^5+X-1=0只有一个正根

1）设y=x^5+x-1,则y的导数y'=5x^4+1，可以看出y'衡大于0，则y=x^5+x-1的曲率衡大于零。则此函数单调递增。
（2）当x=0时，y=-1；当x=1时，y=1
以上两点，可证在0<x<1的范围内必有一且唯一有一值使x^5+x-1的值等于0

证：设函数f(x)=x^5+x-1 假设方程f(x)=0存在两不等实根x1,x2,即f(x1)=f(x2)=0 则在开区间（x1,x2）上必然存在一点ξ，使得f”(ξ)=0 事实上，f”(x)=5x^4+1>0恒成立，与假设矛盾！ 所以方程f(x)=0至多存在一个实根。 由因为f(0)=-1，f(1)=1,f(x)在（0,1）内必存在一实根。 综上所述，方程x^5+x-1=0只有一正根

f(x)=X^5+X-1
f'(x)=5x^4+1>0，实数域增函数
方程只有一个根
f(0)=-1<0，增函数
所以根大于零
因此，方程X^5+X-1=0只有一个正根

有x^5 x=1.若x=-x,则x^5=-x^5,不满足原式.负数减一个数不可能为正.所以x=x..